[轉載]為什麼不是圓？(從克卜勒三大行星運動定律到牛頓萬有引力定律) –Unknown–

撰文╱張海潮
【摘自科學人2009年第83期1月號】
　　
1609年，克卜勒出版《新天文學》，提出行星繞太陽運行的橢圓律：行星繞日的軌道是橢圓，太陽位居橢圓的一個焦點；以及面積律：行星與太陽的連線段在等長的時間內掃過等同的面積。1618年，克卜勒又出版《世界的和諧》並提出週期律：行星繞太陽一周所需的時間T和行星軌道的半長軸a，滿足a3/T2為定值，與個別行星無關。

在克卜勒提出三大行星運動定律近70年之後，牛頓於1687年出版《自然哲學的數學原理》，詳細說明了如何以數學論證，從三大行星運動定律得出萬有引力定律。在牛頓徹底解答三大行星運動定律的物理意涵之前，許多人都好奇提問：「為什麼是橢圓？」或者說：「為什麼不是圓？」

如果是圓，前述的橢圓律就變成了：行星繞日的軌道是圓，太陽位居圓心。這個現象雖然與事實不符，但是不妨做為下文的出發點，看看能夠得出什麼結論。

不難看出，若行星繞日是圓周運動的情形，面積律等同於行星以等速率運動，因為唯有如此，才能在等長的時間內掃過等同的面積。等速圓周運動是平面運動中最完美的運動。在克卜勒發現橢圓律之前，許多人都相信，以地球為中心所觀察的行星運動是由若干個等速圓周運動疊加而成。因此，假設行星以等速圓周運動繞行太陽，並非大逆不道。

下面這兩個圖是了解等速圓周運動的關鍵：左圖表示圓周運動的半徑為R，速度v和半徑垂直。右圖表示各位置的等速度也自成一半徑為v的圓，而加速度a又和v垂直，這表示加速度a指向圓心O，因此是向心加速度。

由於位置的變化率是v，而繞行一圈所需的時間是T，因此在左圖中，有：

　　v＝2πR/T……(1)

又因為R在繞行一圈時，v也繞行一圈，並且速度v的變化率是加速度a，因此在右圖中，也有：

　　a＝2πv/T……(2)

將(1)、(2)兩式相比，得到v/a＝R/v或a＝v2/R。這就是有名的等速圓周運動加速度公式，它基本上說明了a之於v，猶如v之於R；上圖中R與v所成的直角三角形，和v與a所成的直角三角形相似。

接著再將加速度公式連繫到週期律：R3/T2是常數；假設這個常數是C，並且將v重寫成2πR/T，代入a的表示式：

a＝v2/R＝4π2R2/RT2＝4π2R3/T2R2＝4π2C/R2

亦即向心加速度a和半徑R的平方成反比，反比常數是4π2C，這就是向心力的平方反比意涵。